アインシュタインの有名な式 E=mc² は、エネルギーと質量の関係を表しています。この式で光速 の二乗が係数となる理由は、相対性理論に基づいた物理的な法則と次元解析に関連しています。
1. 質量とエネルギーの関係
相対性理論では、質量とエネルギーは同一の本質を持ち、互いに変換可能なものとされています。つまり、質量 を持つ物体は、それ自体がエネルギーを持っています。このエネルギーは「静止エネルギー」と呼ばれ、式で表すと E = mc² となります。
• 質量は物体の「物質的な量」。
• エネルギーはその質量が潜在的に持つ「能力」。
2. 光速 の二乗が現れる理由
(1) 次元解析の観点
エネルギーの次元は「運動エネルギー」の次元と一致する必要があります。運動エネルギー は次元的に以下の形です：
ここで光速 が登場するのは、光速が自然界の基準速度（相対性理論での最大速度）として扱われるからです。エネルギーを質量に関連付けるには、速度の次元である を二乗して乗じる必要があります。
(2) 相対性理論の背景
特殊相対性理論では、物体の運動に伴うエネルギーは運動エネルギーと静止エネルギーの和で表されます。静止エネルギーは、運動をしなくても質量が持つエネルギーとして次のように導かれます：
1. 運動量とエネルギーを結びつける関係式：
ここで は運動量です。
2. 静止している場合、運動量 なので、
これが静止エネルギーの式 です。
(3) 光速の特別な意味
• 光速 は自然界での「普遍的な速度」であり、真空中の光の速度として知られています。
• 相対性理論によれば、すべての質量を持つ物体が到達できる速度の上限でもあります。このため、光速 が式に現れるのは、物理的な普遍性を反映した結果です。
3. なぜ「二乗」なのか
光速 の二乗が必要なのは、エネルギーが質量と「速度の二乗」に比例する性質を持つからです。
• 運動エネルギー の形と同様に、エネルギーは速度の二乗に依存します。
• 特に光速 を基準速度とする場合、この速度の二乗が質量をエネルギーに変換する係数として機能します。
結論
光速の二乗 が係数となる理由は、次元解析と相対性理論の基礎方程式から自然に導かれるものです。この二乗は、エネルギーが質量と速度の二乗に比例するという物理的性質と、光速が自然界の基準速度であることを反映しています。